みなためラボ

【数学が苦手な人必見】2次方程式を解の公式で楽に解く方法(例題あり)

文字サイズ

はじめに

どうも! 高杉 皆為(@MinatameT)です。

この記事では、「数学が苦手でわけがわからない!」という人や、数学的センスのない人に向けて、2次方程式の解き方を説明しています。

私は数学の苦手な人の気持ちがわかるので、どのサイトよりもていねいに説明できている自信があります。

かなり初歩的な説明もしつこくしてありますが、ご了承ください。また、最後には確認問題集も用意してあります。

それでは、さっそく説明していきます。少し長くなりますが、頑張りましょう!

解の公式とは?

解の公式とは、2次方程式(xの2乗のついている式)を機械的に解くためのものです。ここでいう「解く」とは、xの値を求めることです。

解の公式を使った解き方は、数学的センスがほぼいらないので、数学が苦手な人(平方完成や因数分解がわからない人)に超おすすめの解き方なのです。

しかし、解の公式はどんな2次方程式にも使えるわけではなく、次のような形式の(右辺を0にした)2次方程式にしか使えません。

2次方程式

このa、b、cは係数といい、何かの数字が入ります。0が入ってもOKです。下の画像のように、aが0の場合はxの2乗が消えて0になり、bが0の場合はxが消えて0になります。

0を掛けると0になる。

そして、解の公式は次のとおりです。わかりやすいように色分けしています。

解の公式(通常版)

この式には±(プラスマイナス)があります。これの意味ですが、2次方程式の解(xの値)は2つあるので、「+の場合」と「-の場合」に分けて計算しましょう……ということです。

解のパターン分け

ただ、上の画像のように式を書くと、文字数が多くなってごちゃごちゃしてしまいます。

したがって、ここでは解の公式を次のように表します。

解の公式(ビギナー版)

この式なら、数学が苦手な人でも理解しやすいのではないでしょうか?

まあ、√(ルート)が出てくるのは仕方がないので、それは我慢してもらう必要がありますが……。

さて、これまでのことを1枚の画像でまとめると、次のようになります。

2次方程式と解の公式(ビギナー版)

点線で囲まれたような形式の(右辺が0の)2次方程式になら、下の解の公式が使えることを意味しています。

上の画像は超重要なので、どこかにメモしておくことをおすすめします!

この解の公式を暗記して使えるようにすることで、2次方程式を確実に解くことができます!

解の公式を使った例題

それでは、例題を一緒に解いていきましょう。

例題1

2次方程式の右辺が0になっているので、解の公式が使えます! それでは、この2次方程式の係数を解の公式に当てはめていきます。

2次方程式と解の公式(ビギナー版)

例題1の途中計算1

※xの2乗の係数やxの係数が書かれていないのは「1」です。なぜなら、係数の1は一般的に省略されるからです。

解の公式に当てはめることができたので、あとは計算していきます。

例題1の途中計算2

よって、解(xの値)は-1と-3であることがわかりました! 答えの書き方としては、x = -1, -3という形式が一般的だと思います。

ちなみに、プラスの場合とマイナスの場合に分けた後の途中式は、次のとおりです。場合分け後の計算がわからない人は確認してください。

例題1の途中計算3

では、次の例題にいきます。

例題2

2次方程式の右辺が0になっているので、解の公式が使えます! それでは、この2次方程式の係数を解の公式に当てはめていきます。

2次方程式と解の公式

例題2の途中計算1

※xの2乗の係数やxの係数が書かれていないのは「1」です。なぜなら、係数の1は一般的に省略されるからです。

-bにマイナスの値を当てはめたとき、符号はプラスになることに注意してください。例えば、-bに-1を当てはめたら1になります。

解の公式に当てはめることができたので、あとは計算していきます。

例題2の途中計算2

よって、x = 2, -1だとわかりました!

ちなみに、場合分け後の途中式は次のとおりです。

例題2の途中計算3

では、最後の例題にいきます。

例題3

2次方程式の右辺が0になっているので、解の公式が使えます! それでは、この2次方程式の係数を解の公式に当てはめていきます。

2次方程式と解の公式(ビギナー版)

例題3の途中計算1

※xの2乗の係数やxの係数が書かれていないのは「1」です。なぜなら、係数の1は一般的に省略されるからです。

-bにマイナスの値を当てはめたとき、符号はプラスになることに注意してください。例えば、-bに-2を当てはめたら2になります。

解の公式に当てはめることができたので、あとは計算していきます。

例題3の途中計算2

よって、x = 1, 1だとわかりました!

場合分け後の途中式は次のとおりです。示す意味がほとんどないですが……(笑)。

例題3の途中計算3

ここで、「あれ? xが2つとも一緒の値になっちゃったけど、これって大丈夫なの?」と思った人もいるかもしれませんが、これが正解です。

同じ値の解のことを「重解」といって、x = 1(重解)というように書きます。

このように、2次方程式の解が絶対に2つあるとは限りません。重解のように、解が1つになる場合もあります

また、虚数解というものもあるのですが、複素数の知識が必要になりますので、ここでは考えないものとします。

……ここまでが、解の公式の基礎です。

もし不安なら、記事の最初から再チェックしてみてください。

それでは、練習問題に挑戦してみてください。問題はあまり難しくはありません。

2次方程式の確認問題集

問題編

【1】次の2次方程式を、解の公式を使って解きましょう。

(1)

確認問題1

(2)

確認問題2

(3)

確認問題3

(4)

確認問題4

(5)

確認問題5

※右辺の値に注意してください。

解答編

【1】次の2次方程式を、解の公式を使って解きましょう。

(1)

確認問題1

右辺が0なので、解の公式が使えますね。この2次方程式の係数を、解の公式に当てはめていきます。

2次方程式と解の公式(ビギナー版)

確認問題1の途中計算1

当てはめたので、あとは計算していきます。

確認問題1の途中計算2

よって、答えはx = 1, -2です。

ちなみに、場合分け後の途中式は次のとおりです。

確認問題1の途中計算3

(2)

確認問題2

右辺が0なので、解の公式が使えますね。この2次方程式の係数を、解の公式に当てはめていきます。

2次方程式と解の公式(ビギナー版)

確認問題2の途中計算1

xの項が存在しないので、bの値が0であることに注意してください。

当てはめたので、あとは計算していきます。

確認問題2の途中計算2

よって、答えはx = (√3)/3, (-√3)/3です。

ちなみに、場合分け後の途中式は次のとおりです。

確認問題2の途中計算3

√3は整数にできないので、そのままの状態にしておきます。

(3)

解の公式3

右辺が0なので、解の公式が使えますね。この2次方程式の係数を、解の公式に当てはめていきます。

2次方程式と解の公式(ビギナー版)

確認問題3の途中計算1

当てはめたので、あとは計算していきます。

確認問題3の途中計算2

よって、答えはx = -5, -2です。

ちなみに、場合分け後の途中式は次のとおりです。

確認問題3の途中計算3

(4)

確認問題4

右辺が0なので、解の公式が使えますね。この2次方程式の係数を、解の公式に当てはめていきます。

2次方程式と解の公式(ビギナー版)

確認問題4の途中計算1

xの項が存在しないので、bの値が0であることに注意してください。

当てはめたので、あとは計算していきます。

確認問題4の途中計算2

よって、答えはx = 4, -4です。

ちなみに、場合分け後の途中式は次のとおりです。

確認問題4の途中計算3

(5)

確認問題5

右辺が0ではないので、このままでは解の公式が使えません。したがって、解の公式を使えるように式を少し変形します。

確認問題5の2次方程式の移項

移項することで、解の公式が使えるようになりました! それでは、この2次方程式の係数を、解の公式に当てはめていきます。

2次方程式と解の公式(ビギナー版)

確認問題5の途中計算1

当てはめることができたので、あとは計算していきます。値が大きいので、計算が面倒です。

確認問題5の途中計算2

よって、答えはx = -10, 1/2です。

√1764(2乗したら1764になる値)を整数にするコツですが、例えば、50の2乗は2500になるので、50の2乗よりは小さいことがわかりますよね。 次に、40の2乗は1600になるので、40の2乗よりは大きいことがわかります。

つまり、40と50の間にある整数を、それぞれ2乗にして1764にならないかをチェックしていけばOKです。そうすれば、42であることがわかります。手間はかかりますが、確実な方法です。

ちなみに、場合分け後の途中式は次のとおりです。

確認問題5の途中計算3

ここまでの内容を理解できたのなら、解の公式の基礎はバッチリです! これで、答えが実数解となる2次方程式は解けるはずです。

説明がかなり長くなってしまいました。本当にお疲れさまでした。


 

みなためじゃんけん

このコーナーは、私と擬似的にじゃんけんできるコーナーです。

みなためじゃんけん、じゃんけんぽん!

私が出したのは……





パー

パーでした! チョキの勝利です!



この記事をSNSでシェアする

プログラミングカテゴリーの最新記事(5件)

最新記事(10件)

管理人のTwitter

内部リンク集